2ª Prova

Considere um gás de partículas clássicas que se movem apenas na superfície de uma esfera. Escreva a Hamiltoniana de uma partícula livre nestas condições, em função de $p_\theta$ e $p_\phi$. Escreva a função partição de partícula única $\zeta$. Encontre a energia média e a pressão de um gás de $N$ partículas. (Dica: $\vec{r}=r \sin \theta \cos\phi \,\hat{x} + r \sin\theta \sin\phi\, \hat{y} + r \cos \theta \,\vec{z}$ )

• A hamiltoniana pode ser escrita como $$H=E=\frac{p^2_\theta}{2m r^2} + \frac{p^2_\phi}{2m r^2 \sin^2 \theta}$$
• A função partição será $$\zeta=\int e^{-\beta H} d\theta \,d\phi\, dp_\theta\, dp_\phi$$
• Para o cálculo de $\zeta$ temos duas integrais gaussianas em $dp_\theta\, dp_\phi$
• $$\zeta = (2\pi\, m r^2/\beta)^{1/2} \int(2\pi\, m r^2 \sin^2 \theta/\beta)^{1/2} d\theta d\phi = (2\pi\, mr^2/\beta) \int_0^\pi \sin\theta d\theta d\phi = 2\pi m/\beta\; A$$ onde A é a área da esfera.
• A energia média e a pressão serão $$\overline{E}=-N \frac{\partial}{\partial \beta}\ln \zeta = NkT \qquad\qquad\qquad\qquad P= N \frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial A}\ln \zeta = \frac{NkT}{A}$$

Os níveis de energia de um rotor rígido, de momento de inércia $I$, em 3 dimensões, são dados por $E=\hbar^2 J(J+1)/2I$, com degenerescência $2J+1 (M=-J,-J+1,\dots,J-1,J)$. Considere um gás de $N$ rotores. Escreva a função de partição e calcule a energia média em função da temperatura. Obtenha o limite de altas temperaturas para verificar se seu resultado está correto.

• $$\zeta= \sum_J (2J + 1) \exp\left(-\beta \,\hbar^2 J(J+1)/2I\right)$$
• A energia média será $$\overline{E}=\frac{\sum_J (2J+1)\,\hbar^2 J(J+1)/2I\; \exp\left(-\beta \,\hbar^2 J(J+1)/2I\right)}{\sum_J (2J + 1) \exp\left(-\beta \,\hbar^2 J(J+1)/2I\right)}$$
• Em altas temperaturas podemos substituir a soma por uma integral $$\zeta = \int_0^\infty (2j+1) \;\exp\left( -\frac{\beta\hbar^2}{2I} j(j+1) \right) dj =\frac{2I}{\hbar^2}{kT}$$
• Logo $\overline{E}=NkT$

Considere um arranjo de $N$ átomos de spin $1/2$, na presença de um campo magnético $H$, em contato com um banho térmico à temperatura $T$. Encontre a magnetização média e a entropia em função da temperatura. Encontre os valores limites da magnetização para baixas e altas temperaturas.

• $$\zeta = e^{\beta \mu H} + e^{-\beta\mu H}$$
• $$m = \left(\frac{1}{\zeta}\right) \mu e^{\beta\mu H} -\mu e^{-\beta \mu H} = \mu \tanh{\mu H \over kT}$$
• $$s = k \left( \ln \zeta + \beta \overline{\epsilon} \right) = k \left[ \ln \left(2 \cosh{ \mu H \over kT }\right) - {\mu H \over kT } \tanh{\mu H \over kT} \right]$$
• em altas temperaturas $x={\mu H \over kT}$ pequeno $\rightarrow\tanh(x)\approx x$; logo $$m \approx {\mu^2 H \over kT}$$
• em baixas temperaturas $$m \approx \mu$$

Encontre a distribuição de velocidades $F(v)$ de um gás ideal clássico, a temperatura constante $T$. Esboce o gráfico.

• Seja $f(\vec{r},\vec{v})$ o número de partículas por unidade de volume, com posição entre $\vec{r}$ e $\vec{r}+d\vec{r}$ e velocidades entre $\vec{v}$ e $\vec{v}+d\vec{v}$. $$f(\vec{r},\vec{v}) = C N e^{-\beta {mv^2 \over 2}} d^3\vec{r}\,d^3\vec{v}$$
• $C$ é obtido, integrando $f$ para todos os valores de $\vec{r},\vec{v}$ $$f(\vec{r},\vec{v}) = n \left( {m \over 2\pi kT} \right)^{3 \over 2} e^{-\beta {mv^2 \over 2}} d^3\vec{r}\,d^3\vec{v}$$
• A função desejada é $$F(v) dv = 4\pi v^2 f(v) dv = 4 \pi n \left( {m \over 2\pi kT} \right)^{3 \over 2} v^2 e^{-\beta {mv^2 \over 2}} dv$$
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